Encontre o ponto na curva de
,
, em que a reta tangente é paralela ao plano
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um ponto na curva definida por
, onde
varia de
a
. O objetivo é identificar o ponto onde a reta tangente à curva é paralela ao plano
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e condições de paralelismo entre vetores e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a reta tangente à curva
. A reta tangente em um ponto específico
pode ser obtida calculando a derivada de
em relação a
. Isso nos dará o vetor velocidade
, que indica a direção da reta tangente naquele ponto.
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, precisamos que a reta tangente seja paralela ao plano
. Para isso, a direção da reta tangente deve ser paralela ao plano. Um vetor é paralelo a um plano se ele é perpendicular ao vetor normal do plano.
A equação geral de um plano é
, onde o vetor normal é
. No nosso caso, o plano é
, o que implica que o vetor normal é:
Passo 4
Para que o vetor tangente
seja perpendicular ao vetor normal
do plano, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Portanto:
Sabemos que
quando
. Como
está no intervalo
, essa é a solução válida.
Passo 7
Agora que encontramos
, substituímos esse valor na função
para encontrar o ponto desejado:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O ponto na curva onde a reta tangente é paralela ao plano
é
.
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