Encontre o ponto na curva de r(t) = < 2 cos t, 2 sen t, e' >, 0 <= t <= pi, em que a reta tangente é paralela ao plano raiz(3) x + y = 1.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um ponto na curva definida por , onde t varia de 0 a pi. O objetivo é identificar o ponto onde a reta tangente à curva é paralela ao plano . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e condições de paralelismo entre vetores e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a reta tangente à curva r(t). A reta tangente em um ponto específico t pode ser obtida calculando a derivada de r(t) em relação a t. Isso nos dará o vetor velocidade , que indica a direção da reta tangente naquele ponto.
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, precisamos que a reta tangente seja paralela ao plano . Para isso, a direção da reta tangente deve ser paralela ao plano. Um vetor é paralelo a um plano se ele é perpendicular ao vetor normal do plano.
A equação geral de um plano é , onde o vetor normal é . No nosso caso, o plano é , o que implica que o vetor normal é:

Passo 4

Para que o vetor tangente seja perpendicular ao vetor normal n do plano, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero:
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar t:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isolando cos(t):
Dividindo ambos os lados por cos(t) (desde que ):
Portanto:
Sabemos que quando . Como t está no intervalo [0, pi], essa é a solução válida.

Passo 7

Agora que encontramos , substituímos esse valor na função r(t) para encontrar o ponto desejado:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O ponto na curva onde a reta tangente é paralela ao plano é .

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