Determine o domínio das funções vetoriais.

Passo 1

Então, a gente tem uma função vetorial . O objetivo aqui é descobrir o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de para os quais cada componente da função está bem definida. Para isso, vamos olhar cada parte da função e ver quais restrições existem para .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a componente . A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, precisamos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
Isso significa que , ou seja, deve estar entre e :

Passo 3

Agora, vamos ver a segunda componente, . Essa é uma função exponencial onde a base é e o expoente é . Como a exponencial está sempre definida para qualquer número real, não há restrição para aqui. Então, essa parte não afeta o domínio.

Passo 4

A última componente é . O logaritmo natural só está definido para números positivos. Portanto, precisamos que:
Resolvendo isso, temos:

Passo 5

Agora, juntando as restrições que encontramos:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
Para que a função vetorial esteja definida, todas as componentes precisam estar definidas simultaneamente. Então, precisamos pegar a interseção dessas duas condições.

Passo 6

A interseção de e é:
Isso significa que pode ser qualquer número maior que e até .

Resposta

O domínio da função vetorial é todos os números reais tais que .

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