Determine o domínio das funções vetoriais.
Passo 1
Então, a gente tem uma função vetorial
. O objetivo aqui é descobrir o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de
para os quais cada componente da função está bem definida. Para isso, vamos olhar cada parte da função e ver quais restrições existem para
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a componente
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, precisamos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
Isso significa que
, ou seja,
deve estar entre
e
:
Passo 3
Agora, vamos ver a segunda componente,
. Essa é uma função exponencial onde a base é
e o expoente é
. Como a exponencial está sempre definida para qualquer número real, não há restrição para
aqui. Então, essa parte não afeta o domínio.
Passo 4
A última componente é
. O logaritmo natural só está definido para números positivos. Portanto, precisamos que:
Resolvendo isso, temos:
Passo 5
Agora, juntando as restrições que encontramos:
- De
, temos . - De
, temos .
Para que a função vetorial esteja definida, todas as componentes precisam estar definidas simultaneamente. Então, precisamos pegar a interseção dessas duas condições.
Passo 6
A interseção de
e
é:
Isso significa que
pode ser qualquer número maior que
e até
.
Resposta
O domínio da função vetorial
é todos os números reais
tais que
.
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Encontre o ponto na curva de
,
, em que a reta tangente é paralela ao plano
.
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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.