Calcule os limites: lim t 0(ln (1+t^2)t, sen 3 tt, t cos t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses três limites que você me mandou. A gente vai trabalhar com limites quando a variável se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, como limites fundamentais e propriedades de funções. Vamos precisar entender como a função logarítmica, a função seno e a função cosseno se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular t^2t = t .
Sabemos que quando limt 0 ln(1 + t^2)t = 0 é bem pequeno, pode ser aproximado por . Então, . Então, a expressão fica aproximadamente:
E quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então:

Passo 3

Agora, vamos para .
Aqui, usamos uma limite fundamental do cálculo:
No nosso caso, temos limx 0 sen(x)x = 1 em vez de limt 0 sen(3t)t = limt 0 3 cdot sen(3t)3t = 3 cdot 1 = 3 , então:

Passo 4

Por último, vamos calcular limt 0 t cos(t) = 0 cdot 1 = 0 .
Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então:

Resposta

Portanto, os limites são:
limt 0 ln(1 + t^2)t = 0
limt 0 sen(3t)t = 3

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