Resolva as EDPs abaixo considerando as condições dadas:
(a) { uyy = 2y cos(xy) , uy(x, 0) = 1 , u(x, 0) = x^2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) pra resolver. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais em relação a . A ideia é resolver para usando as condições dadas. Vamos precisar integrar a equação duas vezes em relação a e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação uma vez em relação a para encontrar :
Aqui, é uma constante de integração que pode depender de .

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Então, calculamos e .
Aplicando a integração por partes:
A segunda integral fica:
onde é outra constante, mas como estamos integrando indefinidamente, podemos absorver na constante .
Então, temos:

Passo 4

Agora, usamos a condição para encontrar . Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para :

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a para encontrar :
Vamos integrar termo a termo:
  1. : Usamos integração por partes novamente.
  2. é a constante de integração.
Após realizar as integrações e simplificar, teremos:

Passo 7

Usamos agora a condição para encontrar . Substituindo :

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de :
Podemos simplificar unindo os termos semelhantes:

Resposta

A solução da EDP é:

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