Resolva as EDPs abaixo considerando as condições dadas:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) pra resolver. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais em relação a . A ideia é resolver para usando as condições dadas. Vamos precisar integrar a equação duas vezes em relação a e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação uma vez em relação a para encontrar :
Aqui, é uma constante de integração que pode depender de .
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Então, calculamos e .
Aplicando a integração por partes:
A segunda integral fica:
onde é outra constante, mas como estamos integrando indefinidamente, podemos absorver na constante .
Então, temos:
Passo 4
Agora, usamos a condição para encontrar . Substituindo na expressão de :
Passo 5
Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para :
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a para encontrar :
Vamos integrar termo a termo:
: Usamos integração por partes novamente.
é a constante de integração.
Após realizar as integrações e simplificar, teremos:
Passo 7
Usamos agora a condição para encontrar . Substituindo :