Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função paramétrica . A tarefa é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto correspondente quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas de funções paramétricas e a equação de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o ponto na curva correspondente a . Isso significa substituir na função :
Calculando as potências e as raízes:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada , que nos dará as derivadas das componentes em relação a :
Vamos calcular cada componente separadamente.

Passo 4

Para a primeira componente: seja . A derivada de , onde é uma constante e é uma função de , é . Assim:

Passo 5

Para a segunda componente: seja . Usamos a regra do produto:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos nas derivadas para encontrar as componentes de :
Para :
Para :

Passo 7

A inclinação da reta tangente é dada pela razão :

Passo 8

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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