Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função paramétrica . A tarefa é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto correspondente quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas de funções paramétricas e a equação de uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o ponto na curva correspondente a . Isso significa substituir na função :
Calculando as potências e as raízes:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada , que nos dará as derivadas das componentes em relação a :
Vamos calcular cada componente separadamente.
Passo 4
Para a primeira componente: seja . A derivada de , onde é uma constante e é uma função de , é . Assim:
Passo 5
Para a segunda componente: seja . Usamos a regra do produto:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos nas derivadas para encontrar as componentes de :
Para :
Para :
Passo 7
A inclinação da reta tangente é dada pela razão :
Passo 8
Com o ponto e a inclinação , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta: