Calcule os limites: lim t 0(raizt^2+1-1raizt^2+16-4, sen 2 tsen t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular dois limites quando se aproxima de 0. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver, vamos precisar usar técnicas como multiplicar pelo conjugado e propriedades das funções trigonométricas, como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o primeiro limite:
lim t 0(raizt^2+1-1raizt^2+16-4)
Quando substituímos , obtemos uma forma indeterminada . Para resolver isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador e do denominador, respectivamente.

Passo 3

Multiplicando o numerador pelo seu conjugado:
raizt^2+1-1 vezes raizt^2+1+1 = (raizt^2+1)^2 - 1^2 = t^2
E o denominador pelo seu conjugado:
raizt^2+16-4 vezes raizt^2+16+4 = (raizt^2+16)^2 - 4^2 = t^2

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
t^2t^2 times raizt^2+16+4raizt^2+1+1 = raizt^2+16+4raizt^2+1+1
Substituindo raiz0+16+4raiz0+1+1 = 4+41+1 = 82 = 4 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o segundo limite:
lim t 0(sin 2tsin t)
Sabemos que pela identidade trigonométrica. Então, substituindo na expressão:

Passo 6

A expressão fica:
2 sin t cos tsin t = 2 cos t
Agora, substituindo 2 cos 0 = 2 times 1 = 2 :

Resposta

O primeiro limite é 4 e o segundo limite é 2.

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