Esboçe o traço das curvas abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o traço da curva definida por γ(t) = (cos²(t), sen²(t)), onde t pertence a todos os números reais. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e análise de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva: x = cos²(t) e y = sen²(t). Nosso objetivo é relacionar x e y de forma a eliminar o parâmetro t.
Passo 3
Sabemos que uma identidade trigonométrica importante é cos²(t) + sen²(t) = 1. Vamos usar isso para relacionar x e y.
Passo 4
Substituindo x e y na identidade trigonométrica, temos:
Então, a equação da curva em termos de x e y é:
Passo 5
Essa equação representa uma reta no plano xy. Além disso, sabemos que cos²(t) e sen²(t) são sempre maiores ou iguais a zero, ou seja, x ≥ 0 e y ≥ 0.
Passo 6
Portanto, o traço da curva γ(t) é o segmento de reta que vai do ponto (1, 0) ao ponto (0, 1) no primeiro quadrante.
Resposta
A curva γ(t) = (cos²(t), sen²(t)) é representada pelo segmento de reta que liga os pontos (1, 0) e (0, 1) no plano xy.