Esboçe o traço das curvas abaixo: gamma(t) = (cos^2(t), sen^2(t)), t in R

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o traço da curva definida por γ(t) = (cos²(t), sen²(t)), onde t pertence a todos os números reais. Para isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e análise de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva: x = cos²(t) e y = sen²(t). Nosso objetivo é relacionar x e y de forma a eliminar o parâmetro t.

Passo 3

Sabemos que uma identidade trigonométrica importante é cos²(t) + sen²(t) = 1. Vamos usar isso para relacionar x e y.

Passo 4

Substituindo x e y na identidade trigonométrica, temos:
Então, a equação da curva em termos de x e y é:

Passo 5

Essa equação representa uma reta no plano xy. Além disso, sabemos que cos²(t) e sen²(t) são sempre maiores ou iguais a zero, ou seja, x ≥ 0 e y ≥ 0.

Passo 6

Portanto, o traço da curva γ(t) é o segmento de reta que vai do ponto (1, 0) ao ponto (0, 1) no primeiro quadrante.

Resposta

A curva γ(t) = (cos²(t), sen²(t)) é representada pelo segmento de reta que liga os pontos (1, 0) e (0, 1) no plano xy.

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