Esboçe o traço das curvas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos uma curva definida por
, onde
pertence aos números reais. O conteúdo que vamos usar aqui é de curvas paramétricas, onde cada ponto da curva é definido por uma função em relação a um parâmetro, que nesse caso é o
. Para resolver, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro
para conseguir uma relação direta entre
e
, o que vai facilitar na hora de esboçar o gráfico da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva. A componente
é igual a
e a componente
é igual a
. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para encontrar uma relação entre
e
sem depender de
.
Passo 3
Observando a componente
, podemos resolver para
em termos de
. Fazendo isso, temos:
Aqui, usamos a operação inversa da potência, que é a raiz cúbica.
Passo 4
Agora que expressamos
em função de
, vamos substituir essa expressão na equação da componente
. Assim:
Simplificando a expressão, sabemos que
, já que
.
Passo 5
Portanto, a relação entre
e
fica:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 9 unidades para baixo no eixo
.
Passo 6
Agora, para esboçar o traço da curva, podemos desenhar a parábola
. Sabemos que o vértice dessa parábola está no ponto
. Além disso, para diferentes valores de
, podemos calcular
para ter uma ideia de como a curva se comporta. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Isso confirma que a curva é simétrica em relação ao eixo
e se abre para cima.
Resposta
A curva definida por
corresponde à parábola
, que é simétrica em relação ao eixo
e tem seu vértice no ponto
.
Exercícios relacionados
Esboçe o traço das curvas abaixo:
Calcule os limites:
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta
.
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado:
.