Esboçe o traço das curvas abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos uma curva definida por , onde pertence aos números reais. O conteúdo que vamos usar aqui é de curvas paramétricas, onde cada ponto da curva é definido por uma função em relação a um parâmetro, que nesse caso é o . Para resolver, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro para conseguir uma relação direta entre e , o que vai facilitar na hora de esboçar o gráfico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva. A componente é igual a e a componente é igual a . Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para encontrar uma relação entre e sem depender de .

Passo 3

Observando a componente , podemos resolver para em termos de . Fazendo isso, temos:
Aqui, usamos a operação inversa da potência, que é a raiz cúbica.

Passo 4

Agora que expressamos em função de , vamos substituir essa expressão na equação da componente . Assim:
Simplificando a expressão, sabemos que , já que .

Passo 5

Portanto, a relação entre e fica:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 9 unidades para baixo no eixo .

Passo 6

Agora, para esboçar o traço da curva, podemos desenhar a parábola . Sabemos que o vértice dessa parábola está no ponto . Além disso, para diferentes valores de , podemos calcular para ter uma ideia de como a curva se comporta. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Isso confirma que a curva é simétrica em relação ao eixo e se abre para cima.

Resposta

A curva definida por corresponde à parábola , que é simétrica em relação ao eixo e tem seu vértice no ponto .

Exercícios relacionados

Esboçe o traço das curvas abaixo:
Calcule os limites:
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a reta .
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .