Esboçe o traço das curvas abaixo: gamma(t) = (t^3, t^6 - 9), t em R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos uma curva definida por , onde t pertence aos números reais. O conteúdo que vamos usar aqui é de curvas paramétricas, onde cada ponto da curva é definido por uma função em relação a um parâmetro, que nesse caso é o t. Para resolver, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro t para conseguir uma relação direta entre x e y, o que vai facilitar na hora de esboçar o gráfico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva. A componente x é igual a e a componente y é igual a . Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação entre x e y sem depender de t.

Passo 3

Observando a componente , podemos resolver para t em termos de x. Fazendo isso, temos:
Aqui, usamos a operação inversa da potência, que é a raiz cúbica.

Passo 4

Agora que expressamos t em função de x, vamos substituir essa expressão na equação da componente y. Assim:
Simplificando a expressão, sabemos que , já que .

Passo 5

Portanto, a relação entre x e y fica:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 9 unidades para baixo no eixo y.

Passo 6

Agora, para esboçar o traço da curva, podemos desenhar a parábola . Sabemos que o vértice dessa parábola está no ponto . Além disso, para diferentes valores de x, podemos calcular y para ter uma ideia de como a curva se comporta. Por exemplo:
  • Para x = 0:
  • Para x = 1:
  • Para :
  • Para x = 2:
  • E assim por diante.
Isso confirma que a curva é simétrica em relação ao eixo y e se abre para cima.

Resposta

A curva definida por corresponde à parábola , que é simétrica em relação ao eixo y e tem seu vértice no ponto .

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