Encontre o ponto de interseção das retas tangentes a curva
nos pontos onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por
. O objetivo é encontrar o ponto onde se cruzam as retas tangentes a essa curva nos pontos correspondentes aos valores de
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as retas tangentes nesses pontos e depois encontrar a interseção delas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as posições na curva para
e
. Substituindo esses valores na função
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as retas tangentes nesses pontos. Para isso, vamos calcular a derivada de
, que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto
:
Passo 4
Calculando a derivada nos pontos de interesse:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Com os vetores tangentes, podemos escrever as equações paramétricas das retas tangentes:
-
Reta tangente em
: -
Reta tangente em
:
Passo 6
Para encontrar o ponto de interseção dessas duas retas, igualamos as componentes correspondentes:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Isso nos dá:
- De 1 e 2:
- De 3:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da reta
para encontrar o ponto de interseção:
Resposta
O ponto de interseção das retas tangentes é
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado:
.
Esboçe o traço das curvas abaixo:
.
Calcule os limites:
Esboçe o traço das curvas abaixo: