Encontre o ponto de interseção das retas tangentes a curva γ(t) = (sen(pi t), sen(pi t), cos(pi t)) nos pontos onde t = 0 e t = 1/2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por . O objetivo é encontrar o ponto onde se cruzam as retas tangentes a essa curva nos pontos correspondentes aos valores de e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as retas tangentes nesses pontos e depois encontrar a interseção delas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as posições na curva para e . Substituindo esses valores na função gamma(t):
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as retas tangentes nesses pontos. Para isso, vamos calcular a derivada de gamma(t), que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto t:

Passo 4

Calculando a derivada nos pontos de interesse:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com os vetores tangentes, podemos escrever as equações paramétricas das retas tangentes:
  • Reta tangente em :
  • Reta tangente em :

Passo 6

Para encontrar o ponto de interseção dessas duas retas, igualamos as componentes correspondentes:
  1. Componente x:
  2. Componente y:
  3. Componente z:
Isso nos dá:
  • De 1 e 2:
  • De 3:

Passo 7

Agora, substituímos na equação da reta para encontrar o ponto de interseção:

Resposta

O ponto de interseção das retas tangentes é .

Exercícios relacionados