Calcule os limites:
lim t 0 t e^t1-e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a 0 da expressão . Estamos lidando com limites e exponenciais aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como o se comporta perto de e aplicar algumas técnicas de limites, como a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 0 cdot e^01 - e^0 = 0 cdot 11 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que não conseguimos concluir o limite dessa forma. Então, precisamos usar outra estratégia.

Passo 3

Quando encontramos a forma indeterminada , uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se o limite de resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a f'(t) = e^t + t e^t = e^t(1 + t) .
Derivada do numerador g'(t) = -e^t :
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas no lugar do numerador e denominador na expressão original do limite:
limt to 0 f'(t)g'(t) = limt to 0 e^t(1 + t)-e^t = limt to 0 1 + t-1

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
limt to 0 1 + t-1 = 1 + 0-1 = 1-1 = -1

Resposta

O limite é .

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