Prove que o porto da eurva mais moxéino al e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar qual é o ponto na circunferência definida por que está mais próximo dos pontos e . Basicamente, queremos encontrar pontos na circunferência que minimizam a distância até esses dois pontos externos.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distância entre pontos no plano e como minimizar essa distância usando um pouco de cálculo e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos um ponto na circunferência e queremos calcular a distância até um ponto fixo , usamos a fórmula da distância:
Nosso objetivo é encontrar o ponto na circunferência que faz essa distância ser a menor possível.

Passo 3

Vamos começar com o ponto . Substituímos na fórmula da distância:
Mas sabemos que na circunferência. Podemos substituir na expressão da distância:
Para minimizar , precisamos minimizar o que está dentro da raiz, ou seja, minimizar . Como é uma função linear decrescente em , o mínimo ocorre quando é o maior possível na circunferência, ou seja, .
Então, quando , como :
Então, o ponto na circunferência mais próximo de é .

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto . Queremos encontrar o ponto na circunferência que está mais próximo de .
Usando a mesma lógica, a distância é:
Novamente, substituímos :
Para minimizar , minimizamos . Como é uma função linear decrescente em , o mínimo ocorre quando é o maior possível, ou seja, .
Substituindo na equação da circunferência:
Portanto, o ponto na circunferência mais próximo de também é .

Resposta

O ponto na circunferência mais próximo dos pontos e é .

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