Prove que o porto da eurva
mais moxéino al
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar qual é o ponto na circunferência definida por
que está mais próximo dos pontos
e
. Basicamente, queremos encontrar pontos na circunferência que minimizam a distância até esses dois pontos externos.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distância entre pontos no plano e como minimizar essa distância usando um pouco de cálculo e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos um ponto
na circunferência e queremos calcular a distância até um ponto fixo
, usamos a fórmula da distância:
Nosso objetivo é encontrar o ponto
na circunferência que faz essa distância
ser a menor possível.
Passo 3
Vamos começar com o ponto
. Substituímos na fórmula da distância:
Mas sabemos que
na circunferência. Podemos substituir
na expressão da distância:
Para minimizar
, precisamos minimizar o que está dentro da raiz, ou seja, minimizar
. Como
é uma função linear decrescente em
, o mínimo ocorre quando
é o maior possível na circunferência, ou seja,
.
Então, quando
, como
:
Então, o ponto na circunferência mais próximo de
é
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o ponto
. Queremos encontrar o ponto na circunferência
que está mais próximo de
.
Usando a mesma lógica, a distância é:
Novamente, substituímos
:
Para minimizar
, minimizamos
. Como é uma função linear decrescente em
, o mínimo ocorre quando
é o maior possível, ou seja,
.
Substituindo
na equação da circunferência:
Portanto, o ponto na circunferência mais próximo de
também é
.
Resposta
O ponto na circunferência
mais próximo dos pontos
e
é
.
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