Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular dois limites quando
se aproxima de 1. As funções envolvidas são
e
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, e para resolver, vamos precisar saber como aplicar a Regra de L’Hospital quando encontramos uma forma indeterminada como 0/0.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
Quando
se aproxima de 1, tanto o numerador
quanto o denominador
se aproximam de 0, formando uma indeterminação do tipo 0/0. Nesse caso, a Regra de L’Hospital é útil. Essa regra diz que se temos um limite da forma
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- A derivada de
em relação a é (usando a derivada da tangente e a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é 1.
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital:
Porque
, então
.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo limite:
Novamente, substituindo
, temos 0/0, outra indeterminação. Então, aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Derivando o numerador e o denominador:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da potência). - A derivada de
em relação a é 1.
Aplicando a regra:
Porque
.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere as seguintes curvas regulares:
, sen
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
Esboçe o traço das curvas abaixo:
.
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a circunferência
.