Calcule os limites: lim t 1(tg(t-1)t-1, raiz[5]t-1t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular dois limites quando se aproxima de 1. As funções envolvidas são e . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, e para resolver, vamos precisar saber como aplicar a Regra de L’Hospital quando encontramos uma forma indeterminada como 0/0.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
limt 1 tan(t-1)t-1
Quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, formando uma indeterminação do tipo 0/0. Nesse caso, a Regra de L’Hospital é útil. Essa regra diz que se temos um limite da forma , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • A derivada de limt 1 sec^2(t-1)1 = sec^2(0) = 1 em relação a é (usando a derivada da tangente e a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é 1.
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital:
Porque , então .

Passo 4

Agora, vamos para o segundo limite:
limt 1 raiz[5]t - 1t-1
Novamente, substituindo , temos 0/0, outra indeterminação. Então, aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador:
  • A derivada de limt 1 15 t^-4/51 = 15 cdot 1^-4/5 = 15 em relação a é (usando a regra da potência).
  • A derivada de em relação a é 1.
Aplicando a regra:
Porque .

Resposta

(1, 15)

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