Determine o vetor posição de uma partícula, se:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor posição de uma partícula. Para isso, temos a aceleração , a velocidade inicial e a posição inicial . Vamos usar cálculo integral para chegar na resposta, integrando a aceleração para achar a velocidade e depois integrando a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos fazer a antiderivada de cada componente de .
A função da aceleração é:
Vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Integrando a primeira componente:
E a segunda componente:
Então, a velocidade geral será:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar as constantes e .
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 5

Agora que encontramos e , podemos escrever a expressão completa para a velocidade :

Passo 6

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição . A velocidade é a derivada da posição, então fazemos a antiderivada de cada componente de .
Integramos cada componente:
Então, a posição geral será:

Passo 7

Usamos a condição inicial da posição para encontrar as constantes e .
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Isso nos dá:

Resposta

Finalmente, a posição da partícula é:

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Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .
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Calcule os limites: