Determine o vetor posição gamma(t) de uma partícula, se: A(t) = (e^(-t), 2 e^(2 t)), V(0) = (2, 1), gamma(0) = (0, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor posição gamma(t) de uma partícula. Para isso, temos a aceleração , a velocidade inicial e a posição inicial . Vamos usar cálculo integral para chegar na resposta, integrando a aceleração para achar a velocidade e depois integrando a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a aceleração A(t) para encontrar a velocidade V(t). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos fazer a antiderivada de cada componente de A(t).
A função da aceleração é:
Vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Integrando a primeira componente:
E a segunda componente:
Então, a velocidade geral V(t) será:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar as constantes e .
Substituindo na expressão de V(t):
Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 5

Agora que encontramos e , podemos escrever a expressão completa para a velocidade V(t):

Passo 6

Agora, vamos integrar a velocidade V(t) para encontrar a posição gamma(t). A velocidade é a derivada da posição, então fazemos a antiderivada de cada componente de V(t).
Integramos cada componente:
Então, a posição geral gamma(t) será:

Passo 7

Usamos a condição inicial da posição para encontrar as constantes e .
Substituindo na expressão de gamma(t):
Simplificando:
Isso nos dá:

Resposta

Finalmente, a posição da partícula é:

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