Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor posição
de uma partícula. Para isso, temos a aceleração
, a velocidade inicial
e a posição inicial
. Vamos usar cálculo integral para chegar na resposta, integrando a aceleração para achar a velocidade e depois integrando a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a aceleração
para encontrar a velocidade
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos fazer a antiderivada de cada componente de
.
A função da aceleração é:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Passo 3
Integrando a primeira componente:
E a segunda componente:
Então, a velocidade geral
será:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial da velocidade
para encontrar as constantes
e
.
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a expressão completa para a velocidade
:
Passo 6
Agora, vamos integrar a velocidade
para encontrar a posição
. A velocidade é a derivada da posição, então fazemos a antiderivada de cada componente de
.
Integramos cada componente:
Então, a posição geral
será:
Passo 7
Usamos a condição inicial da posição
para encontrar as constantes
e
.
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Isso nos dá:
Resposta
Finalmente, a posição da partícula é:
Exercícios relacionados
Dada a curva
, encontre a reta tangente a
no ponto
, sendo:
.
Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado:
.
Considere as seguintes curvas regulares:
, sen
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Calcule os limites: