Esboçe o traço das curvas abaixo: gamma(t) = (t^2 - 5t + 6, t), t em R.

Passo 1

A questão pede para esboçar o traço da curva para todo t in R. Vamos utilizar o conteúdo de curvas paramétricas para resolver isso. Precisaremos eliminar o parâmetro t para encontrar a relação entre x e y.

Passo 2

Primeiro, observamos que a curva está definida por duas funções:
Como , podemos substituir t por y na equação de x:

Passo 3

Agora, temos a equação da curva em termos de x e y:
Essa é a equação de uma parábola que relaciona x e y. Para entender melhor a forma dessa parábola, vamos reescrevê-la de uma maneira mais familiar.

Passo 4

Para facilitar o esboço, vamos completar o quadrado na equação de x:
Completemos o quadrado para a parte que envolve y:

Passo 5

A equação final é:
Essa é a equação de uma parábola que abre na direção positiva do eixo x (para a direita). O vértice da parábola está no ponto .

Resposta

A curva gamma(t) é uma parábola com vértice em que abre para a direita no plano xy.

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