Considere as seguintes curvas regulares:
, sen
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para reparametrizar a curva
pelo comprimento de arco. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre parametrização de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da curva, encontrar o comprimento de arco e então reescrever a curva em termos desse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da curva
em relação a
. Isso significa derivar cada componente da função vetorial:
Passo 3
Calculando cada derivada individualmente:
Então, a derivada da curva é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade da curva, que é a norma da derivada
:
Passo 5
Simplificando os termos dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
O comprimento de arco
é dado pela integral da velocidade em relação a
:
Assumindo que
, então
, e temos:
Passo 7
Para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar
em termos de
:
Passo 8
Agora substituímos
por
na expressão original da curva
:
Resposta
A parametrização da curva pelo comprimento de arco é:
Exercícios relacionados
Determine o vetor posição
de uma partícula, se:
Dada a curva
, encontre a reta tangente a
no ponto
, sendo:
.
Calcule os limites:
Esboçe o traço das curvas abaixo:
.