Considere as seguintes curvas regulares: , sen
Reparametrize essas curvas por comprimento de arco.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre parametrização de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da curva, encontrar o comprimento de arco e então reescrever a curva em termos desse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da curva em relação a . Isso significa derivar cada componente da função vetorial:

Passo 3

Calculando cada derivada individualmente:
Então, a derivada da curva é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade da curva, que é a norma da derivada :

Passo 5

Simplificando os termos dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

O comprimento de arco é dado pela integral da velocidade em relação a :
Assumindo que , então , e temos:

Passo 7

Para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar em termos de :

Passo 8

Agora substituímos por na expressão original da curva :

Resposta

A parametrização da curva pelo comprimento de arco é:

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Determine o vetor posição de uma partícula, se:
Dada a curva , encontre a reta tangente a no ponto , sendo: .
Calcule os limites:
Esboçe o traço das curvas abaixo: .