Calcule os limites. lim x 4 |2 x^2-11 x+12|x^2-16

Passo 1

Vamos calcular o limite de lim x 4 |2 x^2-11 x+12|x^2-16. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente lidando com funções racionais e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar fatorar expressões polinomiais e entender como o valor absoluto afeta o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador 2x^2 - 11x + 12. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão 2 times 12 = 24 e que somados dão -11. Esses números são -8 e -3. Então:
2x^2 - 11x + 12 = 2x^2 - 8x - 3x + 12 = (2x - 3)(x - 4)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 16. Este é um caso de diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
|2x^2 - 11x + 12|x^2 - 16 = |(2x - 3)(x - 4)|(x - 4)(x + 4)

Passo 5

Podemos simplificar a expressão cancelando o termo (x - 4), mas precisamos considerar o valor absoluto:
|(2x - 3)(x - 4)|(x - 4)(x + 4) = |2x - 3| cdot |x - 4|(x - 4)(x + 4)
Como x neq 4 (já que estamos calculando o limite quando x se aproxima de 4), podemos cancelar |x - 4| com (x - 4), levando em conta que x está próximo de 4:
|2x - 3||x + 4|

Passo 6

Agora, substituímos x por 4 na expressão simplificada:
|2 cdot 4 - 3||4 + 4| = |8 - 3||8| = 58

Resposta

O limite lim x 4 |2 x^2-11 x+12|x^2-16 é igual a 58.

Exercícios relacionados