Calcule os limites.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe é calcular o limite de vezes quando se aproxima de 0 pela direita. Basicamente, estamos lidando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a visualização:
Aqui, está se aproximando de 0 pelo lado positivo (da direita), o que significa que está ficando cada vez menor, mas sempre positivo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da expressão:
  1. : Conforme se aproxima de 0, esse termo fica cada vez menor, tendendo a 0.
  2. : Aqui, conforme se aproxima de 0 pela direita, cresce sem limites, ou seja, tende a . Portanto, também cresce muito rapidamente, tendendo a .
Então, temos uma situação de “0 vezes infinito”, que é um caso indeterminado. Precisamos usar uma técnica para resolver isso.

Passo 4

Para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, como “0 vezes infinito”, uma estratégia é reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta poderosa para calcular limites.
Vamos reescrever o limite assim:
Agora, temos uma forma , que é apropriada para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se temos um limite da forma , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Vamos derivar:
  • Derivada do numerador :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
    Aqui, , então .
    Portanto, .
  • Derivada do denominador :
    .

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Os sinais negativos se cancelam, e o no numerador e denominador também se cancelam, simplificando para apenas .

Passo 7

Agora, temos:
Como está se aproximando de 0 pela direita, está indo para . Portanto:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais:
g)
Calcule os limites.
Encontre a solução da equação seguinte:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Resolva as seguintes integrais:
I)