Resolva as seguintes integrais:
I) integral0^+infty xe^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral definida de 0 até mais infinito de . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente de integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes u = x e dv = e^-2x , dx que vamos usar na integração por partes. A ideia é escolher como uma função que fica mais simples quando derivada e que seja fácil de integrar.
Escolhemos:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = dx e encontrar v = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x integrando .
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores:
integral x e^-2x , dx = -12 x e^-2x - integral (-12 e^-2x) dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
-integral (-12 e^-2x) dx = 12 integral e^-2x , dx = 12 (-12 e^-2x) = -14 e^-2x

Passo 6

Juntando tudo:
integral x e^-2x , dx = -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Como a integral é definida de 0 até limb to +infty ( -12 b e^-2b - 14 e^-2b ) - ( -12 cdot 0 cdot e^0 - 14 e^0 ) , vamos avaliar os limites:
0 - (0 - 14 ) = 14
Observando que e vão para 0 quando tende ao infinito, sobra:

Resposta

O valor da integral é .

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