Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral definida de 0 até mais infinito de . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente de integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes e que vamos usar na integração por partes. A ideia é escolher como uma função que fica mais simples quando derivada e que seja fácil de integrar.
Escolhemos:
Passo 3
Agora, vamos calcular e encontrar integrando .
Derivando :
Integrando :
Passo 4
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Simplificando a integral restante:
Passo 6
Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Como a integral é definida de 0 até , vamos avaliar os limites:
Observando que e vão para 0 quando tende ao infinito, sobra: