Encontre a solução da equação seguinte:
l 3 y^3 y^prime prime+3 y^2(y^prime)^2=3 y^2(y^prime)^3 y(-1)=-5 y^prime(-1)=1
Escolha uma opção:
a. y=x-4
b. y=2 x^2+5 x-2
c. y=3 e^x+1-2 x-10
d. y=3 ln (x+2)-2 x-7
e. y+y^25=-1-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial com algumas condições iniciais e depois escolher a opção correta entre as apresentadas. Basicamente, a gente vai precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial para encontrar a função que satisfaz a equação e as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial:
3 y^3 y'' + 3 y^2 (y')^2 = 3 y^2 (y')^3
E as condições iniciais são:
y(-1) = -5 e y'(-1) = 1
Nossa missão é descobrir qual das opções dadas satisfaz essa equação e essas condições.

Passo 3

Uma estratégia eficiente aqui é testar cada uma das opções fornecidas para ver qual delas cumpre tanto a equação quanto as condições iniciais.
Vamos começar com a opção a. y' = ddx(x - 4) = 1 .
Primeiro, calculamos a primeira e a segunda derivadas de y'' = ddx(1) = 0 :
3 (x - 4)^3 cdot 0 + 3 (x - 4)^2 cdot (1)^2 = 3 (x - 4)^2 cdot (1)^3
0 + 3 (x - 4)^2 = 3 (x - 4)^2
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Ambos os lados da equação são iguais, então a opção a satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos verificar as condições iniciais com a opção a:
y(-1) = (-1) - 4 = -5 (correto)
y'(-1) = 1 (correto)
Ambas as condições iniciais são atendidas pela opção a.

Resposta

A solução correta é:
a.

Exercícios relacionados