Calcule os limites
lim x 0^+(1x)^tg(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+(1x)^tan(x). Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites em cálculo, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e entender o comportamento da função tangente próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos reescrever (1x)^tan(x) usando o logaritmo natural. Sabemos que a^b = e^b cdot ln(a), então:
(1x)^tan(x) = e^tan(x) cdot ln(1x)

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar o limite do expoente tan(x) cdot ln(1x) quando x se aproxima de 0^+. Vamos calcular esse limite:
limx to 0^+ tan(x) cdot ln(1x) = limx to 0^+ tan(x)1/x cdot ln(1x)
Sabemos que, para x perto de 0, tan(x) approx x. Então:
limx to 0^+ x1/x cdot ln(1x) = limx to 0^+ x^2 cdot ln(1x)
À medida que x se aproxima de 0, x^2 tende a 0 e ln(1x) tende a +infty. Portanto, temos uma forma indefinida 0 cdot infty. Para resolver isso, reescrevemos a expressão:
limx to 0^+ ln(1x)1/x^2
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma inftyinfty:
limx to 0^+ ddx[ln(1x)]ddx[1x^2] = limx to 0^+ -1x-2x^3 = limx to 0^+ x^22 = 0

Passo 4

Com o limite do expoente sendo 0, voltamos à expressão original com o logaritmo:
lim x 0^+(1x)^tan(x) = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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