Calcule os limites
lim x +infty x^e^-x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Nesse exercício, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando cresce sem limites (ou seja, tende ao infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Uma técnica útil é aplicar o logaritmo natural, que nos ajuda a lidar com potências. Então, temos:
limx +infty x^e^-x = limx +infty e^e^-x cdot ln x
Aqui, usamos a propriedade para transformar a potência em uma forma que envolve o logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos focar no expoente limx +infty e^-x cdot ln x . Queremos descobrir o limite dessa expressão quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 conforme cresce, porque a função exponencial decresce muito rapidamente. Por outro lado, cresce, mas de forma mais lenta.

Passo 4

Para entender melhor, analisamos o produto dessas duas funções. Apesar de limx +infty e^-x cdot ln x = 0 crescer, a rapidez com que decresce para 0 é muito maior. Portanto:

Passo 5

Com o limite do expoente sendo 0, substituímos de volta na expressão original:
limx +infty e^e^-x cdot ln x = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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