Calcule os limites
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Nesse exercício, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
cresce sem limites (ou seja, tende ao infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Uma técnica útil é aplicar o logaritmo natural, que nos ajuda a lidar com potências. Então, temos:
Aqui, usamos a propriedade
para transformar a potência em uma forma que envolve o logaritmo natural.
Passo 3
Agora, vamos focar no expoente
. Queremos descobrir o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 conforme
cresce, porque a função exponencial decresce muito rapidamente. Por outro lado,
cresce, mas de forma mais lenta.
Passo 4
Para entender melhor, analisamos o produto dessas duas funções. Apesar de
crescer, a rapidez com que
decresce para 0 é muito maior. Portanto:
Passo 5
Com o limite do expoente sendo 0, substituímos de volta na expressão original:
Resposta
O limite é igual a
.
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Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
Calcule os pontos críticos (se existem) de:
e