Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões do tipo
quando tanto
quanto
estão se aproximando de certos valores que podem tornar o limite indeterminado. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na expressão para ver o que acontece:
O que significa
? Na matemática, essa forma é considerada indeterminada, ou seja, não sabemos diretamente qual é o valor do limite. Precisamos de uma técnica para resolver isso.
Passo 3
Quando temos um limite da forma
, uma estratégia útil é reescrever a expressão usando logaritmos e a função exponencial. Vamos chamar nossa função de
:
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, se conseguirmos encontrar o limite de
, podemos então encontrar
usando a função exponencial.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
:
Observamos que, conforme
se aproxima de
:
-
se aproxima de 0 -
se aproxima de 0, então tende a
Portanto, temos um limite da forma
, que também é indeterminado. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração e aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Vamos reescrever o produto como uma divisão:
Agora, à medida que
se aproxima de
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a
e
, respectivamente, resultando em uma forma indeterminada
. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 6
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 7
Agora, vamos analisar esse novo limite:
Sabemos que:
-
, e conforme se aproxima de , se aproxima de 1 e se aproxima de 0, fazendo com que cresça sem limites. -
se aproxima de 0.
Portanto, temos um produto de algo que cresce para
e algo que vai para 0. Para resolver isso, podemos usar substituições ou expandir em séries, mas uma abordagem mais simples é utilizar a regra de L’Hôpital novamente.
Passo 8
Vamos definir
, então quando
,
. Nossa expressão fica:
Sabemos que:
Então, a expressão se torna:
Agora, simplificando
, temos:
Sabemos que
, então
. Portanto:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites
Calcule os pontosde máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
Calcule os limites
Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções: