Calcule os limites
lim x pi2(cos (x))^x-pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x pi2 (cos(x))^x - pi2
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões do tipo quando tanto quanto estão se aproximando de certos valores que podem tornar o limite indeterminado. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente (cos(pi2))^pi2 - pi2 = (cos(pi2))^0 = 0^0 na expressão para ver o que acontece:
O que significa ? Na matemática, essa forma é considerada indeterminada, ou seja, não sabemos diretamente qual é o valor do limite. Precisamos de uma técnica para resolver isso.

Passo 3

Quando temos um limite da forma y = (cos(x))^x - pi2 , uma estratégia útil é reescrever a expressão usando logaritmos e a função exponencial. Vamos chamar nossa função de ln(y) = (x - pi2) cdot ln(cos(x)) :
Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, se conseguirmos encontrar o limite de , podemos então encontrar usando a função exponencial.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx to pi2 ln(y) = limx to pi2 (x - pi2) cdot ln(cos(x)) :
Observamos que, conforme se aproxima de :
  • se aproxima de 0
  • se aproxima de 0, então tende a
Portanto, temos um limite da forma , que também é indeterminado. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração e aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Vamos reescrever o produto como uma divisão:
limx to pi2 (x - pi2) cdot ln(cos(x)) = limx to pi2 ln(cos(x))1x - pi2
Agora, à medida que se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a e , respectivamente, resultando em uma forma indeterminada . Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx ln(cos(x)) = -sin(x)cos(x) = -tan(x) :
ddx ( 1x - pi2 ) = -1(x - pi2)^2
Derivada do denominador limx to pi2 -tan(x)-1(x - pi2)^2 = limx to pi2 tan(x) cdot (x - pi2)^2 :
Aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 7

Agora, vamos analisar esse novo limite:
limx to pi2 tan(x) cdot (x - pi2)^2
Sabemos que:
  • , e conforme se aproxima de , se aproxima de 1 e se aproxima de 0, fazendo com que cresça sem limites.
  • se aproxima de 0.
Portanto, temos um produto de algo que cresce para e algo que vai para 0. Para resolver isso, podemos usar substituições ou expandir em séries, mas uma abordagem mais simples é utilizar a regra de L’Hôpital novamente.

Passo 8

Vamos definir limt to 0 tan(pi2 + t) cdot t^2 , então quando tan(pi2 + t) = -cot(t) = -cos(t)sin(t) , limt to 0 -cos(t)sin(t) cdot t^2 = -limt to 0 t^2 cos(t)sin(t) . Nossa expressão fica:
t^2sin(t) = t cdot tsin(t)
Sabemos que:
-limt to 0 t cdot 1 cdot cos(t) = -0 cdot 1 = 0
Então, a expressão se torna:
Agora, simplificando , temos:
Sabemos que , então . Portanto:

Resposta

O limite é .

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