Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim x 2 |x(x-2)^2|x^2-4 x+4 se aproxima de 2 da função:
Aqui, estamos lidando com limites, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e trabalhar com valores absolutos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos:
x^2 - 4x + 4
Isso é um polinômio quadrático, e queremos ver se ele pode ser fatorado. Observamos que:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Então, o denominador simplifica para .
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador:
|x(x - 2)^2|
Já que |x| cdot (x - 2)^2 é sempre positivo (pois qualquer número ao quadrado é positivo) e o valor absoluto de um número positivo é ele mesmo, a expressão dentro do valor absoluto fica:
x cdot (x - 2)^2
Mas como estamos considerando se aproximando de 2, e 2 é positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Substituindo essas simplificações na expressão original, temos:
lim x 2 x cdot (x - 2)^2(x - 2)^2
Agora, vemos que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esses termos, desde que (o que é válido porque estamos falando de um limite, não do valor exato em 2).
Passo 5
Após cancelar lim x 2 x , a expressão fica:
Isso significa que, à medida que se aproxima de 2, a expressão simplesmente se aproxima de .
Passo 6
Agora, calcular o limite de lim x 2 x = 2 quando se aproxima de 2 é bem direto: