Determine, se existir, os seguintes limites:
(k) lim x 2 |x(x-2)^2|x^2-4 x+4

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim x 2 |x(x-2)^2|x^2-4 x+4 se aproxima de 2 da função:
Aqui, estamos lidando com limites, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e trabalhar com valores absolutos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos:
x^2 - 4x + 4
Isso é um polinômio quadrático, e queremos ver se ele pode ser fatorado. Observamos que:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Então, o denominador simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador:
|x(x - 2)^2|
Já que |x| cdot (x - 2)^2 é sempre positivo (pois qualquer número ao quadrado é positivo) e o valor absoluto de um número positivo é ele mesmo, a expressão dentro do valor absoluto fica:
x cdot (x - 2)^2
Mas como estamos considerando se aproximando de 2, e 2 é positivo, podemos simplificar para:

Passo 4

Substituindo essas simplificações na expressão original, temos:
lim x 2 x cdot (x - 2)^2(x - 2)^2
Agora, vemos que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esses termos, desde que (o que é válido porque estamos falando de um limite, não do valor exato em 2).

Passo 5

Após cancelar lim x 2 x , a expressão fica:
Isso significa que, à medida que se aproxima de 2, a expressão simplesmente se aproxima de .

Passo 6

Agora, calcular o limite de lim x 2 x = 2 quando se aproxima de 2 é bem direto:

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados

Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
f(x) = e^x - x
(Exercício 4, seção 16.8, J. Stewart) Calcule integral duplaS rot F cdot d S, onde
F(x, y, z)=(x+arctg y z) i+y^2 z j+z k
e S é a parte do hemisfério x=raiz9-y^2-z^2 que está dentro do cilindro y^2+z^2=4, orientada de modo que a primeira componente do campo normal seja positiva. Resposta: -4 pi.
Calcule os pontosde máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
y = (x + 1) / (x^2 + 2x + 1) - 2x
Calcule os limites
lim x 0^+(1x)^tg(x)