Calcule os limites: lim x 1 2 x^2+2 x+2x^2-4 x+3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando lim x 1 2x^2+2x+2x^2-4x+3 se aproxima de 1 da função:
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos seguir os passos para encontrar esse limite.

Passo 2

Vamos começar substituindo 2(1)^2 + 2(1) + 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 + 2 + 21 - 4 + 3 = 60 diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, o denominador se torna 0, o que significa que a substituição direta não funcionou e precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indefinida como 2x^2 + 2x + 2 = 2(x^2 + x + 1) ou x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) ú, geralmente podemos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos fatorar ambos.
Primeiro, fatorando o numerador :
Podemos fatorar por 2:
O polinômio não pode ser fatorado com números reais, então deixamos assim.
Agora, fatorando o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3.

Passo 4

Agora, reescrevemos a expressão original com os fatores encontrados:
2(x^2 + x + 1)(x - 1)(x - 3)
Apesar de termos fatorado, ainda não conseguimos simplificar a expressão para eliminar o denominador que está se tornando zero quando . Isso significa que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função perto de positivonegativo to -infty . Observamos que:
  • Para positivopositivo to +infty se aproximando de 1 pela direita ( ):
    O denominador é positivo, pois está ligeiramente maior que 1.
    O denominador é negativo, já que está perto de 1 (menor que 3).
    Então, o denominador total é negativo.
  • Para se aproximando de 1 pela esquerda ( ):
    O denominador é negativo, pois está ligeiramente menor que 1.
    O denominador ainda é negativo.
    Então, o denominador total é positivo.
Como o numerador é sempre positivo para qualquer valor real de , vamos ver o que acontece com o quociente:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Como os limites laterais não são iguais (um tende a e o outro a ), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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