Calcule os limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 1 da função:
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos seguir os passos para encontrar esse limite.
Passo 2
Vamos começar substituindo
diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, o denominador se torna 0, o que significa que a substituição direta não funcionou e precisamos de outra abordagem.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indefinida como
ou
, geralmente podemos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos fatorar ambos.
Primeiro, fatorando o numerador
:
Podemos fatorar por 2:
Podemos fatorar por 2:
O polinômio
não pode ser fatorado com números reais, então deixamos assim.
Agora, fatorando o denominador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3.
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3.
Passo 4
Agora, reescrevemos a expressão original com os fatores encontrados:
Apesar de termos fatorado, ainda não conseguimos simplificar a expressão para eliminar o denominador que está se tornando zero quando
. Isso significa que o limite pode ser infinito ou não existir.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função perto de
. Observamos que:
-
Para
se aproximando de 1 pela direita ( ):
O denominadoré positivo, pois está ligeiramente maior que 1.
O denominadoré negativo, já que está perto de 1 (menor que 3).
Então, o denominador totalé negativo. -
Para
se aproximando de 1 pela esquerda ( ):
O denominadoré negativo, pois está ligeiramente menor que 1.
O denominadorainda é negativo.
Então, o denominador totalé positivo.
Como o numerador
é sempre positivo para qualquer valor real de
, vamos ver o que acontece com o quociente:
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 6
Como os limites laterais não são iguais (um tende a
e o outro a
), o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.
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Dada a função
, determine sua derivada primeira:
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