Calcule os limites: lim x 1 x^2+x-2x^3-4 x^2+3 x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função x^2+x-2x^3-4 x^2+3 x quando x se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites e como fatorar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente.
Substituindo:
1^2 + 1 - 21^3 - 4 cdot 1^2 + 3 cdot 1 = 1 + 1 - 21 - 4 + 3 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos 00, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar fatores comuns. Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
x^2 + x - 2
Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. São 2 e -1.
Então,
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Denominador:
x^3 - 4x^2 + 3x
Podemos fatorar tirando x como fator comum:
x^3 - 4x^2 + 3x = x(x^2 - 4x + 3)
Agora, fatoramos o quadrático x^2 - 4x + 3:
Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4: são -1 e -3.
Então,
x(x^2 - 4x + 3) = x(x - 1)(x - 3)

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
(x + 2)(x - 1)x(x - 1)(x - 3)
Podemos cancelar o fator comum (x - 1):
x + 2x(x - 3)

Passo 5

Agora, substituímos x = 1 na expressão simplificada:
1 + 21(1 - 3) = 31 cdot (-2) = 3-2 = -32

Resposta

- dfrac32

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