Dada a função , determine sua derivada primeira:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada primeira da função . Isso está dentro do tópico de cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação de funções trigonométricas. Vamos precisar saber como derivar a tangente e a secante, e também aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Note que é igual a 1, então a função fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Vamos começar com . A derivada da tangente de é:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia, porque temos uma função composta onde .
Sabemos que:
E a derivada de em relação a é .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de é:

Passo 6

Agora, juntando tudo, a derivada de é a derivada da tangente menos a derivada da secante:

Resposta

A derivada primeira da função é:

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Dada a função , determine sua derivada primeira:
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(h)
Calcule os limites:
Calcule os limites: