Calcule os limites: lim x infty x^3-4 x^2+2 x+77 x+14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos de maior grau em cima e embaixo influenciam o comportamento da fração quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é . Quando tende ao infinito, os termos com graus menores têm pouca influência comparados aos termos de maior grau. Por isso, podemos simplificar a expressão focando apenas nesses termos principais.

Passo 3

Vamos simplificar a fração considerando apenas os termos de maior grau:
x^3 - 4x^2 + 2x + 77x + 14 approx x^37x
Isso porque, para muito grande, os termos , , , e se tornam desprezíveis em comparação com e .

Passo 4

Agora, simplificamos a fração resultante:
x^37x = x^3x times 17 = x^27
Aqui, dividimos por , o que nos dá , e mantemos o divisor .

Passo 5

Finalmente, analisamos o comportamento de quando tende ao infinito. Como cresce sem limites e está dividido por um número constante, o valor da expressão também tende ao infinito.

Resposta

O limite é limx infty x^3 - 4x^2 + 2x + 77x + 14 = +infty .

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