Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando a gente varia uma variável de cada vez.
Passo 3
Calculando a derivada parcial com respeito a :
E a derivada parcial com respeito a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Isso nos dá as inclinações do plano tangente em relação aos eixos e .
Passo 5
Com as derivadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal ao plano, que é dado pelas derivadas parciais . No nosso caso, o vetor normal é .
Passo 7
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:
Onde é um parâmetro real.
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: