Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar polinômios e simplificar expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador:
. Esse polinômio é uma expressão quadrática e pode ser fatorado. Perceba que
, porque
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o numerador:
. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para ver se conseguimos cancelar algum fator com o denominador. Para isso, vamos tentar dividir o polinômio pelo fator
(já que o denominador é
) utilizando a divisão polinomial ou fatoração por agrupamento.
Passo 4
Aplicando a divisão polinomial de
por
, encontramos que:
Agora, precisamos verificar se o fator
aparece novamente no polinômio resultante
.
Passo 5
Vamos testar
no polinômio
:
Como
não anula
, então o numerador fatorado é
e o denominador é
. Portanto, podemos simplificar a expressão cancelando um
:
Passo 6
Agora, temos o limite simplificado:
Podemos aplicar a regra de l’Hôpital aqui, já que substituindo
ainda resulta em
. A regra de l’Hôpital nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
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