Calcule os limites
lim x 1 x^4-2 x^3+2 x-1x^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar polinômios e simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador: . Esse polinômio é uma expressão quadrática e pode ser fatorado. Perceba que , porque .

Passo 3

Agora, vamos verificar o numerador: . Nosso objetivo é fatorar esse polinômio para ver se conseguimos cancelar algum fator com o denominador. Para isso, vamos tentar dividir o polinômio pelo fator (já que o denominador é ) utilizando a divisão polinomial ou fatoração por agrupamento.

Passo 4

Aplicando a divisão polinomial de x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x - 1)(x^3 - x^2 - x -1) por , encontramos que:
Agora, precisamos verificar se o fator aparece novamente no polinômio resultante .

Passo 5

Vamos testar 1^3 - 1^2 - 1 -1 = 1 - 1 -1 -1 = -2 neq 0 no polinômio (x - 1)(x^3 - x^2 - x -1)(x -1)^2 = x^3 - x^2 - x -1x -1 :
Como não anula , então o numerador fatorado é e o denominador é . Portanto, podemos simplificar a expressão cancelando um :

Passo 6

Agora, temos o limite simplificado:
lim x 1 x^3 - x^2 - x -1x -1
Podemos aplicar a regra de l’Hôpital aqui, já que substituindo lim x 1 3x^2 - 2x -11 ainda resulta em . A regra de l’Hôpital nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 7

Agora, substituímos 3(1)^2 - 2(1) -1 = 3 - 2 -1 = 0 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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