Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de rio de
de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 30 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de 5,00 reais o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa 4,00 reais o metro. Qual é o percurso mais econômico possível?
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisamos estender um cabo da usina de força até uma fábrica que está do outro lado do rio. O rio tem 9 metros de largura e a fábrica está 30 metros rio abaixo da usina. O custo para passar o cabo pelo rio é de 5,00 reais por metro e por terra é de 4,00 reais por metro. A nossa missão é descobrir qual caminho dá para gastar menos dinheiro nessa extensão do cabo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cenário. Imagine que a usina está na margem direita do rio e a fábrica está na margem esquerda, 30 metros mais abaixo ao longo do rio. A largura do rio é de 9 metros. Precisamos decidir até onde correr por terra antes de atravessar o rio pelo cabo.
Passo 3
Vamos chamar de x a distância que o cabo vai percorrer por terra a partir da usina antes de atravessar o rio. Assim, o cabo percorre x metros por terra com custo de 4,00 reais por metro.
Passo 4
Depois de percorrer x metros por terra, o cabo vai atravessar o rio. A travessia forma um triângulo retângulo com os lados x (distância por terra) e 9 metros (língua do rio). A hipotenusa desse triângulo será a distância que o cabo percorre pelo rio. Usamos o Teorema de Pitágoras para calcular essa distância: √(x² + 9²).
Passo 5
O custo para atravessar o rio é de 5,00 reais por metro. Então, o custo total para a parte do cabo que atravessa o rio é 5,00 * √(x² + 81).
Passo 6
O custo total do projeto será a soma dos custos por terra e pelo rio: C(x) = 4x + 5√(x² + 81).
Passo 7
Para encontrar o valor de x que minimiza o custo total, precisamos derivar a função C(x) em relação a x e igualar a derivada a zero.
Passo 8
Calculando a derivada de C(x): C’(x) = 4 + (5 * x) / √(x² + 81).
Passo 9
Igualamos a derivada a zero para encontrar o mínimo:
4 + (5x) / √(x² + 81) = 0.
4 + (5x) / √(x² + 81) = 0.
Passo 10
Resolvendo a equação:
(5x) / √(x² + 81) = -4
Multiplicando ambos os lados por √(x² + 81):
5x = -4√(x² + 81)
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
25x² = 16(x² + 81)
25x² = 16x² + 1296
25x² - 16x² = 1296
9x² = 1296
x² = 144
x = 12
(5x) / √(x² + 81) = -4
Multiplicando ambos os lados por √(x² + 81):
5x = -4√(x² + 81)
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
25x² = 16(x² + 81)
25x² = 16x² + 1296
25x² - 16x² = 1296
9x² = 1296
x² = 144
x = 12
Resposta
O percurso mais econômico é correr 12 metros por terra a partir da usina e depois atravessar o rio diretamente até a fábrica, minimizando o custo total.
Exercícios relacionados
Calcule os limites
Calcule os limites
Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um rio de
de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio a 20 m abaixo da central. O custo da obra através do rio é de 200,00 reais por metro e em terra o custo é de 100,00 reais por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?
Determine as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio de 5 cm e de altura 12 cm .