Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um rio de de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio a 20 m abaixo da central. O custo da obra através do rio é de 200,00 reais por metro e em terra o custo é de 100,00 reais por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos que ligar uma central de abastecimento de água localizada em uma margem de um rio a um conjunto de casas na outra margem, que está 20 metros abaixo da central. A largura do rio é de 4 metros. O custo para construir a rede de água através do rio é de R$200,00 por metro, e em terra é de R$100,00 por metro. Nosso objetivo é descobrir qual é a forma mais econômica de instalar essa rede de água.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria e otimização de custos. Precisamos calcular as diferentes possibilidades de caminho para a rede e comparar os custos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cenário. Imagine o rio como uma linha horizontal com 4 metros de largura. A central de abastecimento está em um ponto A na margem de cima, e o conjunto habitacional está 20 metros abaixo na margem oposta, no ponto B.
Queremos ligar A a B, podendo passar diretamente através do rio ou construir parte da rede em terra (na margem) e depois atravessar o rio.

Passo 3

Vamos considerar que a rede pode ir de A até um ponto P na margem de cima, que está a uma distância x metros de A ao longo da margem. De P, a rede atravessa o rio em linha reta até a margem oposta, no ponto Q, que está diretamente a 4 metros de P (largura do rio). Depois, de Q até B, a rede continua por terra na margem oposta.
Aqui, x é a variável que vamos ajustar para encontrar o caminho mais barato.

Passo 4

Agora, vamos calcular as distâncias e os custos para esse caminho:
  1. De A a P: a distância é x metros, e o custo é R$100,00 por metro. Então, o custo é 100x.
  2. De P a Q: a distância é a diagonal de um triângulo retângulo com lados 4 metros (largura do rio) e 20 - x metros (diferença de posição). A distância é √(4² + (20 - x)²) = √(16 + (20 - x)²). O custo é R$200,00 por metro, então o custo é 200 * √(16 + (20 - x)²).
  3. De Q a B: a distância é zero, pois Q é o ponto diretamente em frente a B.
Portanto, o custo total C(x) é:
C(x) = 100x + 200√(16 + (20 - x)²)

Passo 5

Para encontrar o valor de x que minimiza o custo, vamos derivar C(x) em relação a x e igualar a zero.
Primeiro, derivamos C(x):
C’(x) = 100 + 200 * [ ( (20 - x) * (-1) ) / (2√(16 + (20 - x)²)) ) ]
Simplificando:
C’(x) = 100 - 200 * (20 - x) / √(16 + (20 - x)²)
Igualamos a zero para encontrar o mínimo:
100 - 200 * (20 - x) / √(16 + (20 - x)²) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação:
100 = 200 * (20 - x) / √(16 + (20 - x)²)
Dividindo ambos os lados por 100:
1 = 2 * (20 - x) / √(16 + (20 - x)²)
Multiplicando ambos os lados por √(16 + (20 - x)²):
√(16 + (20 - x)²) = 2 * (20 - x)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
16 + (20 - x)² = 4 * (20 - x)²
Subtraindo (20 - x)² de ambos os lados:
16 = 3 * (20 - x)²
Dividindo ambos os lados por 3:
(20 - x)² = 16 / 3
Tirando a raiz quadrada:
20 - x = √(16 / 3) = 4 / √3 ≈ 2.309
Portanto:
x ≈ 20 - 2.309 ≈ 17.691 metros

Resposta

A forma mais econômica de instalar a rede de água potável é construir 17,69 metros em terra a partir da central e, em seguida, atravessar o rio diretamente, totalizando aproximadamente 17,69 metros em terra e 4 metros pelo rio.

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