Calcule os limites

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de funções trigonométricas e limites. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno e a secante se comportam perto de , além de aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que é o mesmo que . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, queremos calcular o limite dessa fração quando se aproxima de pela esquerda ( ). Vamos analisar o comportamento de e nesse ponto.

Passo 4

Sabemos que . Então, conforme se aproxima de , se aproxima de 0. Agora, vamos ver . Quando ,
E também é 0, pois .

Passo 5

Então, temos uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos diz que se , então:
Vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 6

Derivando :
Derivando :
Então, o limite fica:

Passo 7

Agora, vamos avaliar e quando se aproxima de .
E

Passo 8

Substituindo os valores no limite:

Resposta

O limite é .

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