Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve conceitos de funções trigonométricas e limites. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno e a secante se comportam perto de
, além de aplicar as propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, queremos calcular o limite dessa fração quando
se aproxima de
pela esquerda (
). Vamos analisar o comportamento de
e
nesse ponto.
Passo 4
Sabemos que
. Então, conforme
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Agora, vamos ver
. Quando
,
E
também é 0, pois
.
Passo 5
Então, temos uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos diz que se
, então:
Vamos derivar o numerador e o denominador.
Passo 6
Derivando
:
Derivando
:
Então, o limite fica:
Passo 7
Agora, vamos avaliar
e
quando
se aproxima de
.
E
Passo 8
Substituindo os valores no limite:
Resposta
O limite é
.