Calcule os limites
lim x (pi / 2)^- cos (x) sec (5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de funções trigonométricas e limites. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno e a secante se comportam perto de , além de aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cos(x) cdot sec(5x) = cos(x)cos(5x) . Sabemos que é o mesmo que . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, queremos calcular o limite dessa fração quando se aproxima de pela esquerda ( ). Vamos analisar o comportamento de e nesse ponto.

Passo 4

Sabemos que 5x = 5 cdot pi2 = 5pi2 . Então, conforme se aproxima de , se aproxima de 0. Agora, vamos ver . Quando ,
E também é 0, pois .

Passo 5

Então, temos uma forma indeterminada limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) . Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos diz que se , então:
Vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 6

Derivando f'(x) = -sin(x) :
g'(x) = -5sin(5x)
Derivando limx to (pi/2)^- -sin(x)-5sin(5x) = limx to (pi/2)^- sin(x)5sin(5x) :
Então, o limite fica:

Passo 7

Agora, vamos avaliar sin(pi2) = 1 e 5x 5pi2 Rightarrow sin(5pi2) = 1 quando se aproxima de .
E

Passo 8

Substituindo os valores no limite:
limx to (pi/2)^- 15 cdot 1 = 15

Resposta

O limite é .

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