Calcule os limites
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da função
. Estamos lidando com limites que envolvem funções logarítmicas e funções de potência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de limites e como essas funções se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Podemos reescrever o denominador
como
. Assim, a expressão fica:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora podemos focar no limite de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que, conforme
cresce, a função logarítmica
cresce, mas mais lentamente que qualquer função de potência de
. Isso significa que o denominador
cresce mais rápido que o numerador
, o que nos dá uma pista de que o limite pode ser zero.
Passo 4
Para confirmar essa intuição, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites do tipo
ou
. Essa regra nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite da nova razão.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
: - Derivada do denominador
:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Passo 6
Agora, olhamos para o limite de
quando
tende ao infinito. Conforme
cresce,
também cresce sem limite, fazendo com que
se aproxime de zero.
Resposta
Portanto, o limite é
.
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