Calcule os limites

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da função . Estamos lidando com limites que envolvem funções logarítmicas e funções de potência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de limites e como essas funções se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Podemos reescrever o denominador como . Assim, a expressão fica:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora podemos focar no limite de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito. Sabemos que, conforme cresce, a função logarítmica cresce, mas mais lentamente que qualquer função de potência de . Isso significa que o denominador cresce mais rápido que o numerador , o que nos dá uma pista de que o limite pode ser zero.

Passo 4

Para confirmar essa intuição, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites do tipo ou . Essa regra nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite da nova razão.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:

Passo 6

Agora, olhamos para o limite de quando tende ao infinito. Conforme cresce, também cresce sem limite, fazendo com que se aproxime de zero.

Resposta

Portanto, o limite é .

Exercícios relacionados

(3,0 pts) Para os itens a seguir considere a função
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa 1.
(2,0 pts) Responda corretamente.
(b) Qual tipo de descontinuidade a função abaixo apresenta no número ? (removível, tipo salto ou assintótica?)
Calcule os limites
Calcule os limites