Calcule os limites: lim x -3 x^3+27x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -3 x^3+27x^2-9. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especificamente quando a substituição direta resulta em uma forma indeterminada. Vamos precisar usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -3 diretamente na expressão para ver o que acontece:
(-3)^3 + 27(-3)^2 - 9 = -27 + 279 - 9 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador. Começando pelo numerador x^3 + 27, que é uma soma de cubos. A fórmula para fatorar soma de cubos é:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Aqui, a = x e b = 3, então:
x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 9, que é uma diferença de quadrados. A fórmula para isso é:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aqui, a = x e b = 3, então:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
(x + 3)(x^2 - 3x + 9)(x - 3)(x + 3)
Agora, podemos cancelar o termo comum (x + 3) no numerador e denominador:
x^2 - 3x + 9x - 3

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, vamos calcular o limite substituindo x = -3:
(-3)^2 - 3(-3) + 9-3 - 3 = 9 + 9 + 9-6 = 27-6 = -92

Resposta

O limite é - dfrac92.

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