Calcule os limites:
lim x 5^- x-5|x^2-7 x+10|

Passo 1

Vamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites laterais, fatoração de polinômios e propriedades do valor absoluto. Esses conceitos nos ajudarão a simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 -7x +10 = (x -5)(x -2) . Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -5 e -2. Então:

Passo 3

Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
x -5|x^2 -7x +10| = x -5|(x -5)(x -2)|

Passo 4

Podemos separar o valor absoluto multiplicando os termos individualmente:
|(x -5)(x -2)| = |x -5| cdot |x -2|
Então, a expressão fica:
x -5|x -5| cdot |x -2|

Passo 5

Dividindo x -5|x -5| = sgn(x -5) por :
Onde é a função sinal, que vale -1 se e 1 se .

Passo 6

Como estamos calculando o limite quando x -5|x -5| = -1 se aproxima de 5 pela esquerda ( ), isso significa que está ligeiramente menor que 5. Portanto, e:

Passo 7

Agora, substituímos esse valor na expressão original:
x -5|x -5| cdot |x -2| = -1|x -2|

Passo 8

Como |5 -2| = 3 está se aproximando de 5, podemos substituir por 5 na expressão :

Passo 9

Finalmente, substituímos esse valor na expressão:
-13

Resposta

- 13

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