Determine em que pontos a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir em quais pontos ela é contínua. Isso envolve entender sobre continuidade de funções e analisar cada parte da função para ver se não tem “quebras” ou “saltos”. Vamos precisar lembrar o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando x se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Basicamente, não tem saltos ou buracos no gráfico da função nesse ponto.

Passo 3

Nossa função é definida por três partes:
  • para
  • para
  • para
Vamos analisar a continuidade em cada intervalo e nos pontos onde muda a definição da função, que são e .

Passo 4

Intervalo :
A função é uma função afim, que é contínua em todo o seu domínio. Então, está contínua para todo .
Intervalo :
A função também é afim e, portanto, contínua em todo o intervalo .
Intervalo :
A função é um polinômio, que é contínuo em todo o seu domínio. Logo, está contínua para todo .

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e .
No ponto :
  • Limite pela esquerda:
  • Limite pela direita:
  • Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função não é contínua em .
No ponto :
  • Limite pela esquerda:
  • Limite pela direita:
  • Valor da função em :
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita também são diferentes ( ), então a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do seu domínio, exceto em e .

Exercícios relacionados

sujeita às condições indicadas.
a)
Calcule os limites:
com as condições de contorno dadas.
d)
Calcule os limites: