Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como algo, representado por a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < L, t > 0 , muda no espaço () e no tempo (). Especificamente, a equação é:
Além disso, temos algumas condições que deve satisfazer:
— Isso significa que nas extremidades e , a função é sempre zero para qualquer tempo .
— Isso nos dá a forma inicial de no tempo .
— A taxa de variação de no tempo é zero no instante inicial.
Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais parciais, como a separação de variáveis e séries de Fourier, para encontrar a solução .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação que estamos resolvendo. A equação dada é uma forma da Equação da Onda, que modela fenômenos como vibrações de uma corda ou ondas sonoras. A equação geral da onda é:
Aqui, representa a velocidade da onda. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação juntamente com as condições de contorno e iniciais fornecidas.
Passo 3
Vamos usar o método da separação de variáveis para resolver essa equação. A ideia é supor que a solução pode ser escrita como um produto de uma função que depende apenas de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende apenas de a^2 X''(x) T(t) = X(x) T''(t) :
a^2 X''(x)X(x) = T''(t)T(t) = -lambda
Substituindo isso na equação da onda, temos:
X''(x) + lambdaa^2 X(x) = 0
Dividindo ambos os lados por T''(t) + lambda T(t) = 0 :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias de segunda ordem:
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações separadamente. Começando com a equação para X''(x) + lambdaa^2 X(x) = 0 :
X(x) = A cos(raizlambdaa x) + B sin(raizlambdaa x)
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções harmônicas. A solução geral é:
X(0) = A = 0
Mas, aplicando as condições de contorno X(x) = B sin(raizlambdaa x) , temos:
Para X(L) = B sin(raizlambdaa L) = 0 :
sin(raizlambdaa L) = 0 implies raizlambdaa L = npi onde n = 1, 2, 3, dots
Então, a solução simplifica para:
lambdan = (npi aL)^2
Para Xn(x) = Bn sin(npiL x) :
Isso significa que:
Portanto, os valores próprios de são:
E as soluções correspondentes de são:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para T''(t) + lambdan T(t) = 0 implies T''(t) + (npi aL)^2 T(t) = 0 usando os valores próprios Tn(t) = Cn cos(npi aL t) + Dn sin(npi aL t) :
u(x, t) = sumn=1^infty [ Cn cos(npi aL t) + Dn sin(npi aL t) ] sin(npiL x)
A solução geral dessa equação é:
Portanto, a solução geral para é uma soma das soluções para cada modo :
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes u(x, 0) = 14 x(L - x) e u(x, 0) = sumn=1^infty Cn sin(npiL x) = 14 x(L - x) .
Primeira condição inicial:
partial upartial t|t=0 = 0
Substituindo partial upartial t = sumn=1^infty [ -Cn npi aL sin(npi aL t) + Dn npi aL cos(npi aL t) ] sin(npiL x) na solução geral:
Isso nos dá uma expansão em série de Fourier da função em termos de senos.
Segunda condição inicial:
Derivando em relação a :
Avaliando em :
Para que isso seja válido para todo , devemos ter para todo .
Passo 7
Então, nossa solução simplifica para:
u(x, t) = sumn=1^infty Cn cos(npi aL t) sin(npiL x)
Agora, precisamos encontrar os coeficientes 14 x(L - x) = sumn=1^infty Cn sin(npiL x) que satisfazem a condição inicial Cn = 2L integral0^L 14 x(L - x) sin(npiL x) dx . Isto é, precisamos expandir em uma série de senos:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais. O resultado é:
Isso significa que apenas os termos ímpares de contribuem para a soma, pois para par, .
Passo 9
Substituindo u(x, t) = sumn=1,3,5,dots^infty 8Ln^3pi^3 [ (-1)^n -1 ] cos(npi aL t) sin(npiL x) de volta na solução geral, temos:
Isso representa a solução da equação da onda com as condições dadas, expressa como uma série infinita de modos de vibração.
Resposta
A solução da equação dada, sujeita às condições indicadas, é:
u(x, t) = sumn=1,3,5,dots^infty 16Ln^3pi^3 sin(npiL x) cos(npi aL t)
Essa expressão descreve como evolui no espaço e no tempo, combinando múltiplos modos de vibração que respeitam as condições de contorno e iniciais fornecidas.