sujeita às condições indicadas.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como algo, representado por , muda no espaço ( ) e no tempo ( ). Especificamente, a equação é:
Além disso, temos algumas condições que deve satisfazer:
  1. — Isso significa que nas extremidades e , a função é sempre zero para qualquer tempo .
  2. — Isso nos dá a forma inicial de no tempo .
  3. — A taxa de variação de no tempo é zero no instante inicial.
Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais parciais, como a separação de variáveis e séries de Fourier, para encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação que estamos resolvendo. A equação dada é uma forma da Equação da Onda, que modela fenômenos como vibrações de uma corda ou ondas sonoras. A equação geral da onda é:
Aqui, representa a velocidade da onda. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação juntamente com as condições de contorno e iniciais fornecidas.

Passo 3

Vamos usar o método da separação de variáveis para resolver essa equação. A ideia é supor que a solução pode ser escrita como um produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Substituindo isso na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias de segunda ordem:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações separadamente. Começando com a equação para :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções harmônicas. A solução geral é:
Mas, aplicando as condições de contorno , temos:
Para :
Então, a solução simplifica para:
Para :
Isso significa que:
Portanto, os valores próprios de são:
E as soluções correspondentes de são:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para usando os valores próprios :
A solução geral dessa equação é:
Portanto, a solução geral para é uma soma das soluções para cada modo :

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes e .
Primeira condição inicial:
Substituindo na solução geral:
Isso nos dá uma expansão em série de Fourier da função em termos de senos.
Segunda condição inicial:
Derivando em relação a :
Avaliando em :
Para que isso seja válido para todo , devemos ter para todo .

Passo 7

Então, nossa solução simplifica para:
Agora, precisamos encontrar os coeficientes que satisfazem a condição inicial . Isto é, precisamos expandir em uma série de senos:
Os coeficientes são dados por:

Passo 8

Vamos calcular :
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais. O resultado é:
Isso significa que apenas os termos ímpares de contribuem para a soma, pois para par, .

Passo 9

Substituindo de volta na solução geral, temos:
Isso representa a solução da equação da onda com as condições dadas, expressa como uma série infinita de modos de vibração.

Resposta

A solução da equação dada, sujeita às condições indicadas, é:
Essa expressão descreve como evolui no espaço e no tempo, combinando múltiplos modos de vibração que respeitam as condições de contorno e iniciais fornecidas.

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Calcule os limites:
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Determine em que pontos a função é contínua.
com as condições de contorno dadas.
d)