Calcule os limites: lim x 3 x^2-9x^2-5 x+6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 3 na expressão . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente aos limites de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar saber como fatorar polinômios e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 3^2 - 93^2 - 5 times 3 + 6 = 9 - 99 - 15 + 6 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Ué, apareceu , que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o limite só substituindo. Precisamos simplificar a expressão para resolver.

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo comum.
Numerador: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Denominador: (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x - 3) é um trinômio do segundo grau que podemos fatorar encontrando dois números que multiplicam para 6 e somam para -5. Esses números são -2 e -3:
x + 3x - 2
Então, nossa expressão fica:
Agora, podemos cancelar o termo que está no numerador e no denominador:

Passo 4

Com a expressão simplificada, agora sim podemos substituir 3 + 33 - 2 = 61 = 6 :

Resposta

O limite é 6.

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