Seja f(x)=3 cdot|x-1|x-1, determine: lim x 1 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite de uma função quando f(x) = 3 cdot |x - 1|x - 1 se aproxima de 1. A função que temos é:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites e o comportamento das funções próximo a um ponto específico. Precisamos entender como a função se comporta quando está muito perto de 1, tanto pela direita quanto pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto |x - 1| = x - 1 & se x > 1 -(x - 1) & se x < 1 pode ser reescrito de duas maneiras, dependendo se é maior ou menor que 1:
Isso nos ajuda a simplificar a função para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função f(x) = 3 cdot (x - 1)x - 1 = 3 para os casos em que f(x) = 3 cdot (-(x - 1))x - 1 = -3(x - 1)x - 1 = -3 se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
Para :
Aqui, o cancelam, e o valor da função é constante, igual a 3.
Para :
Nesse caso, o cancelam também, mas o sinal fica negativo, resultando em -3.

Passo 4

Com isso, vemos que:
  • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ), tende a 3.
  • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), tende a -3.
Para que o limite exista, os valores devem ser iguais pelos dois lados, o que não acontece aqui.

Resposta

O limite de lim x 1^+ f(x) = 3 e lim x 1^- f(x) = -3 quando se aproxima de 1 não existe, pois os limites laterais são diferentes:

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