Investigue a continuidade nos pontos indicados: , em .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa investigar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites, que são fundamentais em cálculo. Vamos precisar entender como calcular limites e comparar com o valor da função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que foi dada:
Aqui, a função é definida de duas maneiras: uma para todo diferente de 2 e outra para .

Passo 3

Para verificar a continuidade em , precisamos checar se o limite da função quando se aproxima de 2 é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Sabemos que . Agora vamos calcular o limite.

Passo 4

Vamos analisar o limite de quando se aproxima de 2. Observe que temos um módulo na expressão , o que nos leva a considerar os limites laterais: quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 5

Para (pela direita):
Quando é maior que 2, . Então, a função fica:
Portanto,

Passo 6

Para (pela esquerda):
Quando é menor que 2, . Então, a função fica:
Portanto,

Passo 7

Agora, com os limites laterais calculados:
Como esses dois limites não são iguais, dizemos que o limite geral não existe.

Passo 8

Finalmente, para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 2 deveria ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Mas vimos que o limite não existe, então não pode ser igual a .

Resposta

A função não é contínua em .

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Calcule os limites:
Utilize as regras de derivação para determinar as derivadas das funçōes:
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