Investigue a continuidade nos pontos indicados:
, em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa investigar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites, que são fundamentais em cálculo. Vamos precisar entender como calcular limites e comparar com o valor da função no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que foi dada:
Aqui, a função é definida de duas maneiras: uma para todo
diferente de 2 e outra para
.
Passo 3
Para verificar a continuidade em
, precisamos checar se o limite da função quando
se aproxima de 2 é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Sabemos que
. Agora vamos calcular o limite.
Passo 4
Vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de 2. Observe que temos um módulo na expressão
, o que nos leva a considerar os limites laterais: quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
) e pela direita (
).
Passo 5
Para
(pela direita):
Quando
é maior que 2,
. Então, a função fica:
Portanto,
Passo 6
Para
(pela esquerda):
Quando
é menor que 2,
. Então, a função fica:
Portanto,
Passo 7
Agora, com os limites laterais calculados:
Como esses dois limites não são iguais, dizemos que o limite geral
não existe.
Passo 8
Finalmente, para a função ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de 2 deveria ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Mas vimos que o limite não existe, então não pode ser igual a
.
Resposta
A função
não é contínua em
.
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Seja
, determine:
Calcule os limites:
Utilize as regras de derivação para determinar as derivadas das funçōes:
Calcule os limites: