Utilize as regras de derivação para determinar as derivadas das funçōes:
Passo 1
Beleza, a gente precisa descobrir a derivada da função
. Vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente, a derivada de funções polinomiais, trigonométricas e exponenciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar cada parte da função separadamente e depois aplicar essas regras para encontrar a derivada total.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função. No caso, o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar o numerador
. A derivada de
é
. Para derivar
, lembramos que
. Então, a derivada do numerador
é:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar o denominador
. A constante 2 fica como está, e a derivada de
é
. Então, a derivada do denominador
é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que:
Substituindo
,
,
e
na fórmula, temos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, vamos simplificar o denominador:
Passo 8
Colocando tudo junto na fórmula da regra do quociente:
Podemos simplificar dividindo 2 por 4 e
por
:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para
. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Essa indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de
, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
Calcule os limites:
Seja
, determine: