Utilize as regras de derivação para determinar as derivadas das funçōes:

Passo 1

Beleza, a gente precisa descobrir a derivada da função . Vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente, a derivada de funções polinomiais, trigonométricas e exponenciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar cada parte da função separadamente e depois aplicar essas regras para encontrar a derivada total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função. No caso, o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador . A derivada de é . Para derivar , lembramos que . Então, a derivada do numerador é:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar o denominador . A constante 2 fica como está, e a derivada de é . Então, a derivada do denominador é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que:
Substituindo , , e na fórmula, temos:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Fatorando :

Passo 7

Agora, vamos simplificar o denominador:

Passo 8

Colocando tudo junto na fórmula da regra do quociente:
Podemos simplificar dividindo 2 por 4 e por :

Resposta

A derivada da função é:

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Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para . Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Essa indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de , cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
Calcule os limites:
Seja , determine: