Calcule os limites : lim x +infty(1+1x)^2021 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x +infty(1+1x)^2021 x. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especialmente envolvendo exponenciais e a constante matemática e. Para resolver, vamos precisar entender como usar a definição de e e manipular expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e é definida por um limite famoso: limn to infty (1 + 1n)^n = e. Essa expressão mostra como e surge quando a base (1 + 1n) é elevada a uma potência que também tende ao infinito.

Passo 3

No nosso exercício, temos (1 + 1x)^2021 x. Observe que, além de (1 + 1x), a potência é 2021x. Queremos relacionar isso com a definição de e.

Passo 4

Podemos reescrever a expressão da seguinte maneira para facilitar a comparação com a definição de e:
(1 + 1x)^2021 x = [(1 + 1x)^x]^2021
Aqui, se isolarmos (1 + 1x)^x, vemos que se assemelha à definição de e.

Passo 5

Sabemos que limx to infty (1 + 1x)^x = e. Portanto, substituindo na expressão reescrita:
limx to infty [(1 + 1x)^x]^2021 = e^2021

Resposta

O limite é e^2021.

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