Mostre que: lim h 0 ln (1+h)h=1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o limite de ln (1+h)h quando h se aproxima de 0 é igual a 1. Isso está dentro da área de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo limites e a função logarítmica natural. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades de limites e entender a definição da derivada da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando h é muito pequeno, estamos observando o comportamento da função ln(1+h) perto de h = 0. Isso significa que estamos analisando ln(1) mais uma pequena variação h, ou seja, estamos olhando para ln próximo de 1.

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto. A definição da derivada de ln(x) em x = 1 é:
f'(1) = limh to 0 ln(1+h) - ln(1)h
Como ln(1) = 0, a expressão simplifica para:
f'(1) = limh to 0 ln(1+h)h

Passo 4

Já sabemos a regra de derivação para a função logarítmica natural: a derivada de ln(x) é 1x. Portanto, em x = 1:
f'(1) = 11 = 1

Resposta

Portanto, lim h 0 ln (1+h)h=1

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