Mostre que:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 1. Isso está dentro da área de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo limites e a função logarítmica natural. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades de limites e entender a definição da derivada da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando é muito pequeno, estamos observando o comportamento da função perto de . Isso significa que estamos analisando mais uma pequena variação , ou seja, estamos olhando para próximo de 1.

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto. A definição da derivada de em é:
Como , a expressão simplifica para:

Passo 4

Já sabemos a regra de derivação para a função logarítmica natural: a derivada de é . Portanto, em :

Resposta

Portanto,

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Calcule os limites :
Calcule os limites :
a)
Determine , se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas: , se , se , se
Usando a definição de derivada, calcule , sendo dados: e ;