Mostre que:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a 1. Isso está dentro da área de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo limites e a função logarítmica natural. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades de limites e entender a definição da derivada da função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
é muito pequeno, estamos observando o comportamento da função
perto de
. Isso significa que estamos analisando
mais uma pequena variação
, ou seja, estamos olhando para
próximo de 1.
Passo 3
Sabemos que a derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função naquele ponto. A definição da derivada de
em
é:
Como
, a expressão simplifica para:
Passo 4
Já sabemos a regra de derivação para a função logarítmica natural: a derivada de
é
. Portanto, em
:
Resposta
Portanto,
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Calcule os limites :
Calcule os limites :
a)
a)
Determine
, se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas:
, se
, se
, se
Usando a definição de derivada, calcule
, sendo dados:
e
;