(2,0 pontos) Encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
(a)
,
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta que nos ajuda a descobrir para quais valores de
essa série converge.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite:
Se
, a série converge. Se
, a série diverge. E se
, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar os termos da nossa série. Aqui, o termo geral é:
Agora, vamos calcular
an+1an = x^n+1(n+2) 5^n+1x^n(n+1) 5^n = x^n+1 cdot (n+1) cdot 5^nx^n cdot (n+2) cdot 5^n+1 :
Simplificando essa expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
L = limn to infty | x cdot (n+1)5 cdot (n+2) | = limn to infty |x| cdot (n+1)5 cdot (n+2) tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Para que a série converja, precisamos que
|x|5 < 1 implies |x| < 5 :
Isso significa que
deve estar entre
e
para a série convergir.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
lim n infty(x^n+y^n)^1n=max x, y ;
forall x, y >= 0 .
Calcule os limites:
lim x -infty cos (x)x
Justifique, com rigor matemático, que a função
f(x) =
sen(x) + 1/2 tem raíz.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x) = x^2 + cos(x) no ponto com coordenada
x igual a 2.