(2,0 pontos) Encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
(a) sumn=0^infty x^n(n+1) 5^n,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty x^n(n+1) 5^n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta que nos ajuda a descobrir para quais valores de essa série converge.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar os termos da nossa série. Aqui, o termo geral é:
an = x^n(n+1) 5^n
Agora, vamos calcular an+1an = x^n+1(n+2) 5^n+1x^n(n+1) 5^n = x^n+1 cdot (n+1) cdot 5^nx^n cdot (n+2) cdot 5^n+1 :
Simplificando essa expressão:
an+1an = x cdot (n+1)5 cdot (n+2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x cdot (n+1)5 cdot (n+2) | = limn to infty |x| cdot (n+1)5 cdot (n+2) tende ao infinito:
L = limn to infty |x| cdot (1 + 1n)5 cdot (1 + 2n) = |x|5 cdot limn to infty 1 + 1n1 + 2n = |x|5 cdot 1 = |x|5
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Para que a série converja, precisamos que |x|5 < 1 implies |x| < 5 :
Isso significa que deve estar entre e para a série convergir.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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