Mostre que
;
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que, para quaisquer números
e
maiores ou iguais a zero, o limite quando
tende ao infinito de
é igual ao maior valor entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual dos dois números,
ou
, é o maior. Sem perda de generalidade, vamos supor que
. Isso significa que
é o máximo entre os dois.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão
de uma forma que facilite o cálculo do limite. Podemos fatorar
de dentro do parêntese:
Passo 4
Observe que
é uma fração menor ou igual a 1, já que
. Vamos chamar
, onde
. Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão conforme
tende ao infinito. Sabemos que, se
, então
tende a 0 quando
cresce. Portanto:
Passo 6
Então, vimos que se
, o limite da expressão
é igual a
, que é o máximo entre
e
. Se fosse o caso de
ser maior que
, bastaria seguir um raciocínio similar e concluir que o limite seria
.
Resposta
Portanto, mostramos que
para quaisquer
.