Mostre que lim n infty(x^n+y^n)^1n=max x, y; forall x, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que, para quaisquer números e maiores ou iguais a zero, o limite quando tende ao infinito de é igual ao maior valor entre e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual dos dois números, ou , é o maior. Sem perda de generalidade, vamos supor que . Isso significa que é o máximo entre os dois.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão (x^n + y^n)^1n = x (1 + (yx)^n)^1n de uma forma que facilite o cálculo do limite. Podemos fatorar de dentro do parêntese:

Passo 4

Observe que x (1 + r^n)^1n é uma fração menor ou igual a 1, já que . Vamos chamar , onde . Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão conforme limn to infty x (1 + r^n)^1n = x (1 + 0)^0 = x cdot 1 = x tende ao infinito. Sabemos que, se , então tende a 0 quando cresce. Portanto:

Passo 6

Então, vimos que se , o limite da expressão é igual a , que é o máximo entre e . Se fosse o caso de ser maior que , bastaria seguir um raciocínio similar e concluir que o limite seria .

Resposta

Portanto, mostramos que
lim n infty(x^n+y^n)^1n = max x, y
para quaisquer .

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