Calcule os limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de limites e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões da forma
, que é um caso indeterminado, e utilizar logaritmos para simplificar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a expressão que queremos calcular de
, ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 3
Como temos uma potência onde tanto a base quanto o expoente tendem a zero, a forma
é indeterminada. Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, nosso foco é encontrar o limite de
quando
tende a
.
Passo 4
Vamos analisar o limite:
Sabemos que, quando
está próximo de
,
é aproximadamente igual a
. Então podemos simplificar:
Assim, o limite se aproxima de:
Passo 5
Agora, vamos calcular:
Sabemos que
tende a
quando
tende a
, mas o
está tendendo a
. Esse produto é um tipo de indeterminação
, que na verdade tende a
.
Passo 6
Então, temos que:
Para encontrar
, basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite é
.
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