Calcule os limites: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de limites e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões da forma , que é um caso indeterminado, e utilizar logaritmos para simplificar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a expressão que queremos calcular de , ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de pela direita.

Passo 3

Como temos uma potência onde tanto a base quanto o expoente tendem a zero, a forma é indeterminada. Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, nosso foco é encontrar o limite de quando tende a .

Passo 4

Vamos analisar o limite:
Sabemos que, quando está próximo de , é aproximadamente igual a . Então podemos simplificar:
Assim, o limite se aproxima de:

Passo 5

Agora, vamos calcular:
Sabemos que tende a quando tende a , mas o está tendendo a . Esse produto é um tipo de indeterminação , que na verdade tende a .

Passo 6

Então, temos que:
Para encontrar , basta aplicar a função exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é .

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