Calcule os limites: lim x 0^+(sen x)^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0^+(sen x)^x. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de limites e propriedades de funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões da forma 0^0, que é um caso indeterminado, e utilizar logaritmos para simplificar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a expressão que queremos calcular de y, ou seja:
y = (sen x)^x
Nosso objetivo é encontrar o limite de y quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 3

Como temos uma potência onde tanto a base quanto o expoente tendem a zero, a forma 0^0 é indeterminada. Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = ln( (sen x)^x ) = x cdot ln(sen x)
Agora, nosso foco é encontrar o limite de ln y quando x tende a 0^+.

Passo 4

Vamos analisar o limite:
limx to 0^+ x cdot ln(sen x)
Sabemos que, quando x está próximo de 0, sen x é aproximadamente igual a x. Então podemos simplificar:
ln(sen x) approx ln x
Assim, o limite se aproxima de:
limx to 0^+ x cdot ln x

Passo 5

Agora, vamos calcular:
limx to 0^+ x cdot ln x
Sabemos que ln x tende a -infty quando x tende a 0^+, mas o x está tendendo a 0. Esse produto é um tipo de indeterminação 0 cdot (-infty), que na verdade tende a 0.

Passo 6

Então, temos que:
limx to 0^+ ln y = 0
Para encontrar y, basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
y = e^0 = 1

Resposta

O limite é 1.

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