(2,0 pts) Responda corretamente.
(b) Qual tipo de descontinuidade a função abaixo apresenta no número ? (removível, tipo salto ou assintótica?)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir que tipo de descontinuidade ela apresenta no ponto . Os tipos de descontinuidade que vamos considerar são: removível, salto ou assintótica. Para isso, vamos precisar entender os limites laterais da função quando se aproxima de 4 pela esquerda e pela direita, além do valor da função exatamente em .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 4 pela esquerda, ou seja, . Nessa parte, a função é dada por .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 4 pela direita, . Nessa parte, a função é .
Primeiro, simplificamos a expressão:
E sabemos que pode ser reescrito como , usando a identidade . Então:
Agora, calculamos o limite:

Passo 4

Vamos ver o valor da função exatamente em . Como está incluído na primeira parte da definição da função, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar os resultados:
  • O limite pela esquerda ( ) é -1.
  • O limite pela direita ( ) é 32.
  • O valor da função em é -1.
Como os limites laterais são diferentes, a função não tem um limite único quando se aproxima de 4. Além disso, o valor da função em 4 coincide com o limite pela esquerda, mas não com o da direita.

Resposta

A função apresenta uma descontinuidade do tipo salto no número .

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