Resolva as seguintes integrais:
b) integral2^infty 1x(ln x)^p d x, (p>1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral onde . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e substituição. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para facilitar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que temos du = 1x dx no denominador. Então, vamos deixar . Agora, precisamos achar :
Isso é ótimo porque o termo aparece na nossa integral original.

Passo 3

Com a substituição feita, vamos reescrever a integral em termos de integral2^infty 1x(ln x)^p , dx = integralln 2^infty 1u^p , du :
Aqui, ajustamos os limites de integração: quando , , e quando , .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral u^-p , du = u^-(p-1)-(p-1) + C = -1(p-1)u^p-1 + C . Sabemos que:

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
[ -1(p-1)u^p-1 ]ln 2^infty
Primeiro, vamos ver o que acontece quando -1(p-1)u^p-1 to 0 pois p-1 > 0 :
-1(p-1)(ln 2)^p-1
Agora, avaliamos em :

Resposta

Subtraindo, temos:
0 - ( -1(p-1)(ln 2)^p-1 ) = 1(p-1)(ln 2)^p-1
Então, a integral vale .

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