Calcule os limites: lim x -infty raiz4 x^6+5 x^3-108 x^3-2 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando tende a menos infinito da função . Isso envolve conceitos de limites no infinito e comportamento de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como as maiores potências de influenciam o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando raiz4 x^6+5 x^3-10 approx raiz4 x^6 fica muito grande em valor absoluto (tanto positivo quanto negativo).
No numerador, temos raiz4 x^6 = 2 cdot |x^3| = 2 cdot (-x^3) = -2x^3 . Quando 8x^3-2x+3 approx 8x^3 tende a menos infinito, o termo que mais pesa é porque, para grandes valores de , as potências mais altas dominam. Então, podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Como .
Aqui, precisamos lembrar que é igual a quando é negativo, já que seria negativo e o valor absoluto o torna positivo. Portanto:
No denominador, temos . Novamente, para muito grande em valor absoluto, o termo dominante é . Então:

Passo 3

Agora, substituindo essas aproximações na nossa função original:
raiz4 x^6+5 x^3-108 x^3-2 x+3 approx -2x^38x^3
Simplificando a fração:
-2x^38x^3 = -28 = -14

Resposta

O limite é .

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