Calcule os limites: lim x 2^- x^2-4 x+3x^2+3 x-2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está dentro do assunto de cálculo de limites, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão e analisar o comportamento da função próximo a .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 + 3x - 2 = (x + 1)(x + 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então:

Passo 4

Substituímos as fatorações na expressão original:
x^2 - 4x + 3x^2 + 3x - 2 = (x - 1)(x - 3)(x + 1)(x + 2)

Passo 5

Agora, analisamos o limite conforme (2 - 1)(2 - 3) = (1)(-1) = -1 se aproxima de 2 pela esquerda. Substituímos (2 + 1)(2 + 2) = (3)(4) = 12 nas expressões fatoradas:
Numerador:
Denominador:

Passo 6

Como não há indeterminação (como 0/0) e as funções são contínuas perto de -112 = -112 , podemos simplesmente dividir os valores obtidos:

Resposta

O limite é .

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